Hvordan finner man en sidelengde i en trekant når man kjenner to sider og vinkelen mellom dem?
Svar
Vi har: \( AB = 4\sqrt{2} \), \( BC = 5 \) og \( \angle CBA = 135^\circ \).
Siden oppgaven sier vi skal bruke vektorregning, uttrykker vi \( \vec{AC} \) ved hjelp av de andre vektorene:$$\vec{AC} = \vec{BC} - \vec{BA}$$Lengden finner vi ved (husk 2. kvadratsetning):$$\begin{aligned}|\vec{AC}|^2 &= \vec{AC}\cdot\vec{AC} \\ &= (\vec{BC} - \vec{BA})\cdot(\vec{BC} - \vec{BA}) \\ &= |\vec{BC}|^2 + |\vec{BA}|^2 - 2\,\vec{BA}\cdot\vec{BC}\end{aligned}$$Skalarproduktet bruker vinkelen mellom de to vektorene:$$\begin{aligned}\vec{BA}\cdot\vec{BC} &= 4\sqrt{2}\cdot 5\cdot\cos(135^\circ) \\ &= 4\sqrt{2}\cdot 5\cdot\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \\ &= -20\end{aligned}$$Setter inn:$$|\vec{AC}|^2 = 25 + 32 - 2\cdot(-20) = 97$$$$AC = \sqrt{97}$$
Siden oppgaven sier vi skal bruke vektorregning, uttrykker vi \( \vec{AC} \) ved hjelp av de andre vektorene:$$\vec{AC} = \vec{BC} - \vec{BA}$$Lengden finner vi ved (husk 2. kvadratsetning):$$\begin{aligned}|\vec{AC}|^2 &= \vec{AC}\cdot\vec{AC} \\ &= (\vec{BC} - \vec{BA})\cdot(\vec{BC} - \vec{BA}) \\ &= |\vec{BC}|^2 + |\vec{BA}|^2 - 2\,\vec{BA}\cdot\vec{BC}\end{aligned}$$Skalarproduktet bruker vinkelen mellom de to vektorene:$$\begin{aligned}\vec{BA}\cdot\vec{BC} &= 4\sqrt{2}\cdot 5\cdot\cos(135^\circ) \\ &= 4\sqrt{2}\cdot 5\cdot\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \\ &= -20\end{aligned}$$Setter inn:$$|\vec{AC}|^2 = 25 + 32 - 2\cdot(-20) = 97$$$$AC = \sqrt{97}$$
Trenger du mer hjelp? Få en privatlærer som går gjennom det med deg.
Bestill prøvetime (399 kr) →